Kombinationsmöglichkeiten von Burgenerator

Daniel Bormann, Fabian Lorig, Ingo J. Timm
Center for Informatics Research & Technology (CIRT)
Trier Research Lab for Simulation (TriLabS)

Die individuellen Zutaten eines jeden Burgers können in 8 verschiedene Kategorien sortiert werden. Diese sind: Buns, Patties, Gewürze und Aromen, Käse, Bacon, Salat, Gemüse, Saucen. Da diese Kategorien voneinander unabhängig sind, sieht der mathematische Ansatz zunächst vor, die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten in den einzelnen Kategorien zu berechnen. Wird im Anschluss das Produkt dieser Kombinationsmöglichkeiten gebildet, ergibt sich die Anzahl der gesamt-möglichen Kombinationen für die Burger.

Zunächst erfolgt die Berechnung der einzelnen Kombinationsmöglichkeiten innerhalb der Kategorien. Hier ndet jeweils eine Ziehung mit Zurücklegen einer kelementigen Teilmenge aus einer n-elementigen Obermenge statt, wobei die Beachtung der Reihenfolge keine Rolle spielt.

Mit Zurücklegen: Dies muss gelten, da auch z. B. ein Burger mit zweimal Gouda gewählt werden kann. D. h. eine gewählte Zutat muss auch nach der Auswahl weiter zur Verfügung stehen.

Keine Beachtung der Reihenfolge: Dies gilt, da die Reihenfolge der Auswahl keine Auswirkung auf das Endprodukt hat. Z. B. ist es egal, ob Ketchup & Senf oder Senf & Ketchup gewählt wird. Das Endresultat ist gleich und somit müssen auch diese beiden Ereignisse der Ziehung gleich gestellt werden. Die Kombinationsmöglichkeiten einer solchen Ziehung werden mit Hilfe des Binominialkoe zienten berechnet: Betrachtet wird eine n-elementige Obermenge, aus der eine k-elementige Teilmenge gezogen wird (z. B. n=11 und k=5 in der Kategorie Gemüse). Für die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten M einer solchen Ziehung gilt die Formel:

M = n+k-1 k

Weiter ist zu beachten, dass in jeder Kategorie eine Obergenze an Auswahlmöglichkeiten existiert. D. h. es können z. B. in der Kategorie Gemüse bis zu 5 Zutaten ausgewählt werden. Das bedeutet, dass jede Anzahl an Zutaten, die kleiner gleich 5 ist, zulässig ist - so auch die Möglichkeit, gar kein Gemüse zu wählen. (Gar nichts auszuwählen ergibt in der Kategorie Buns keinen Sinn, weshalb dort bei der Berechnung diese Möglichkeit ausgeschlossen wurde.) Somit muss für jede Kategorie die Anzahl an Kombinationen für jede mögliche Anzahl an Zutaten berechnet und innerhalb der Kategorie aufsummiert werden:

  1. Buns
    Es gibt 5 verschiedene Buns und es muss genau 1 ausgewählt werden. Damit ergeben sich 5 mögliche Kombinationen
  2. Patties
    Es stehen 13 verschiedene Patties zur Auswahl, von den keins, 1 oder 2 ausgewählt werden können. Daraus folgt die Rechnung:

    1+13+ 13+2-1 2 = 105

    Damit ergeben sich hier 105 mögliche Kombinationen.
  3. Gewürze und Aromen
    In dieser Kategorie stehen 3 Gewürze und Aromen zur Auswahl, von denen keins, 1, 2 oder 3 gewählt werden können. Damit gilt:

    1+3+ 3+2-1 2 + 3+3-1 3 = 20

    Damit ergeben sich hier 20 mögliche Kombinationen.
  4. Käse
    In dieser Kategorie stehen 4 Käsesorten zur Auswahl, von denen keine, 1, 2, oder 3 gewählt werden können. Damit gilt:

    1+4+ 4+2-1 2 + 4+3-1 3 = 35

    Damit ergeben sich hier 35 mögliche Kombinationen.
  5. Bacon
    In dieser Kategorie kann entweder einmal, zweimal oder kein Bacon gewählt werden. Damit ergeben sich hier 4 mögliche Kombinationen.
  6. Salat
    In dieser Kategorie stehen 4 Sorten zur Auswahl, von denen keine oder 1 gewählt werden kann.

    1+4 = 5

    Hieraus resultieren 5 mögliche Kombinationen.
  7. Gemüse
    In dieser Kategorie stehen 11 Gemüsesorten zur Auswahl, von denen keine, 1, 2, 3, 4 oder 5 gewählt werden können. Damit gilt:

    1+11+ 11+2-1 2 + 11+3-1 3 + 11+4-1 4 + 11+5-1 5 = 4 368

    Damit ergeben sich hier 4368 mögliche Kombinationen.
  8. Sauce
    In dieser Kategorie stehen 9 Saucen zur Auswahl, von denen keine, 1, 2, oder 3 gewählt werden können. Damit gilt:

    1+9+ 9+2-1 2 + 9+3-1 3 = 220

    Damit ergeben sich hier 220 mögliche Kombinationen.

Zur Berechnung der gesamten (verschiedenen) Möglichkeiten einen Burger erstellen zu können muss nun das Produkt der berechneten Möglichkeiten der einzelnen Kategorien gebildet werden. Es ergibt sich:

5 x 105 x 20 x 35 x 4 x 5 x 4368 x 220 = 15 891 876 000 000

Somit gibt es eine Gesamtanzahl von 15 891 876 000 000 verschiedenen Möglichkeiten einen Burger mit diesen Zutaten und den dazugehörigen Auswahlmöglichkeiten zuzubereiten - Also mehr als 15,5 Billionen verschiedene Kombinationen